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两个反比例函数y=
k
x
y=
1
x
在第一象限内的图象如图所示,点P在y=
k
x
的图象上,PC⊥x轴于点C,交y=
1
x
的图象于点A,PD⊥y轴于点D,交y=
1
x
的图象于点B,当点P在y=
k
x
的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②四边形PAOB的面积不会发生变化;③PA与PB始终相等;④当点A是PC的中点时,点B一定是PD的中点.其中一定正确的是______.
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1y1=x2y2=1,
∵S△ODB=
1
2
×BD×OD=
1
2
x2y2=
1
2
,S△OCA=
1
2
×OC×AC=
1
2
x1y1=
1
2
,故①正确;

(2)由已知,得P(x1,y2),
∵P点在y=
k
x
的图象上,
∴S矩形OCPD=OC×PD=x1y2=k,
∴S四边形PAOB=S矩形OCPD-S△ODB-S△OCA=k-
1
2
-
1
2
=k-1,故②正确;

(3)由已知得x1y2=k,即x1
1
x2
=k,
∴x1=kx2
根据题意,得PA=y2-y1=
1
x2
-
1
x1
=
k-1
kx2
,PB=x1-x2,=(k-1)x2,故③错误;

(4)当点A是PC的中点时,y2=2y1
代入x1y2=k中,得2x1y1=k,
∴k=2,
代入x1=kx2中,得x1=2x2,故④正确.

故本题答案为:①②④.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,函数y=x与反比例函数y=
16
x
(x>0)的图象相交于点P,以P为顶点作45°的角,角的两边分别交坐标轴于A,B,C,D.连结AB,CD.
(1)求OP的长;
(2)若点C(-6,0),求D点的坐标;
(3)△OAB的周长是否变化?若不变化,试求出△OAB的周长;若变化,请说明理由;
(4)当OP⊥AB时:①求证:OP⊥CD;②求△OAB的面积.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图所示,在直角坐标系中,点A是反比例函数y1=
k
x
(x>0)
的图象上一点,AB⊥x轴的正半轴于B点,C是OB的中点;一次函数y2=ax+b的图象经过A、C两点,并交y轴于点D(0,-2),若S△AOD=4.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)观察图象,请指出,当y1≥y2时,x的取值范围.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知直线l分别与x轴、y轴交于A,B两点,与双曲线y=
a
x
(a≠0,x>0)分别交于D、E两点.
(1)若点D的坐标为(4,1),点E的坐标为(1,4):
①分别求出直线l与双曲线的解析式;
②若将直线l向下平移m(m>0)个单位,当m为何值时,直线l与双曲线有且只有一个交点?
(2)假设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点D为线段AB的n等分点,请直接写出b的值.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知直线AB与x轴、y轴交于A、B两点与反比例函数的图象交于C点和D点,若OA=3,点C的横坐标为-3,tan∠BAO=
2
3

(1)求反比例函数与一次函数的解析式;
(2)求△COD的面积;
(3)若一次函数的值大于反比例函数的值,求x的取值范围.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知反比例函数y=
k1
2x
的图象与一次函数y=k2x+b的图象交于A,B两点,A(1,n),B(-
1
2
,-2).
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在x轴上是否存在点P,使△AOP为等腰三角形?若存在,请你直接写出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,直线y=2x与双曲线y=
8
x
交于点A、E,直线AB交双曲线于另一点B(2m,m),连接EB并延长交x轴于点F.
(1)m=______;
(2)求直线AB的解析式;
(3)求△EOF的面积;
(4)若点P为坐标平面内一点,且以A,B,E,P为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出所有满足条件的点P的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

等边△OAB和△AEF的一边都在x轴上,双曲线y=
k
x
(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D.已知:OA=2,则△AEF的边长为______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,P是双曲线y=
4
x
(x>0)的一个分支上的一点,以点P为圆心,1个单位长度为半径作⊙P,当⊙P与直线y=3相切时,点P的坐标为______.

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