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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,⊙O1x轴相切于点A(﹣30),与y轴相交于BC两点,且BC8,连接AB

1)求证:∠ABO1=∠ABO

2)求AB的长;

3)如图2,⊙O2经过AB两点,与y轴的正半轴交于点M,与O1B的延长线交于点N,求出BMBN的值.

【答案】1)见解析;(2AB;(3BMBN的值为2

【解析】

1)连接AO1根据切线的性质,∠OAO190°,因为∠AOB90°,根据平行线的判定方法,可以判定AO1OB,得到∠ABO=∠O1AB再根据O1A=O1B,即可推导判断出∠ABO1=∠ABO;

(2)过点O1O1HBCH判断出四边形AO1HO是矩形,根据勾股定理求出O1B与AB即可.

(3)作点B关于x轴的对称点B',根据对称性可知OB'OB1ABAB',根据等角的补角相等得出∠ABN=∠AB'M根据圆周角定理判断出∠AMB'=∠N最后判断△AMB'≌△ANB,得出结论MB'=NB,最后计算求解即可.

1)证明:如图,连接AO1

∵⊙O1x轴相切于点A

∴∠OAO190°,

又∠AOB90°,

∴∠OAO1+AOB180°,

AO1OB

∴∠ABO=∠O1AB

O1AO1B

∴∠O1AB=∠ABO1

∴∠ABO1=∠ABO

2)解:如图,过点O1O1HBCH

CHBHBC4

∴∠O1HO=∠HOA=∠OAO190°,

∴四边形AO1HO是矩形,

AO1AO3

∴在RtO1HB中,

HOO1AO1B5

OBHOBH1

∴在RtAOB中,

3)解:如图,作点B关于x轴的对称点B',则点OB'OB1ABAB'

BB'2,∠AB'O=∠ABO

∴由(1)知,∠ABO=∠ABO1

∴∠ABO1=∠AB'O

180°﹣∠ABO1180°﹣∠AB'O

即∠ABN=∠AB'M

又∵,

∴∠AMB'=∠N

∴△AMB'≌△ANBAAS),

MB'NB

BMBNBMB'MBB'2

BMBN的值为2

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