Question

14．如图：△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．
（1）求证：CD=CB；
（2）如果⊙O的半径为$\sqrt{2}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，由∠AOC=150°，易得△OBC是等边三角形，又由过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，易求得∠CBD=∠D=75°，继而证得结论；
（2）由⊙O的半径为$\sqrt{2}$，可求得AB=2，CD=BC=OC=$\sqrt{2}$，易证得△DBC∽△DCA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=OBA=45°，
∵∠AOC=150°，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=15°，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=∠OBC=60°，
∴∠CBD=180°-∠OBA-∠OBC=75°，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=360°-∠OBD-∠BOC-∠OCD=360°-（60°+75°）-60°-90°=75°，
∴∠CBD=∠D，
∴CB=CD；

（2）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCB=∠CAD，
∵∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA，
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD=BD•（BD+AB），
∵CD=BC=OC=$\sqrt{2}$，
∴2=BD•（2+BD），
解得：BD=$\sqrt{3}$-1，
∴AC=AD=AB+BD=$\sqrt{3}$+1．

点评 此题考查了切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．