分析 (1)首先连接OB,则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°,由∠AOC=150°,易得△OBC是等边三角形,又由过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D,易求得∠CBD=∠D=75°,继而证得结论;
(2)由⊙O的半径为$\sqrt{2}$,可求得AB=2,CD=BC=OC=$\sqrt{2}$,易证得△DBC∽△DCA,然后由相似三角形的对应边成比例,求得答案.
解答 (1)证明:连接OB,则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=OBA=45°,
∵∠AOC=150°,OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC=15°,
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°,
∴△OBC是等边三角形,
∴∠BOC=∠OBC=60°,
∴∠CBD=180°-∠OBA-∠OBC=75°,
∵CD是⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠D=360°-∠OBD-∠BOC-∠OCD=360°-(60°+75°)-60°-90°=75°,
∴∠CBD=∠D,
∴CB=CD;
(2)在Rt△AOB中,AB=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠DCB=∠CAD,
∵∠D是公共角,
∴△DBC∽△DCA,
∴$\frac{CD}{AD}=\frac{BD}{CD}$,
∴CD2=AD•BD=BD•(BD+AB),
∵CD=BC=OC=$\sqrt{2}$,
∴2=BD•(2+BD),
解得:BD=$\sqrt{3}$-1,
∴AC=AD=AB+BD=$\sqrt{3}$+1.
点评 此题考查了切线的性质,圆周角定理以及相似三角形的判定与性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | AD是BC边上的中线 | B. | △ABD≌△ACD | ||
C. | △ABC是等边三角形 | D. | AB=AC |
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