Question

14．阅读下列材料，解答问题：
我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y=12，得：y=$\frac{12-2x}{3}$=4-$\frac{2}{3}$x（x、y为正整数）．要使y=4-$\frac{2}{3}$x为正整数，则$\frac{2}{3}$x为正整数，由2，3互质，可知：x为3的倍数，将x=3，代入得y=4-$\frac{2}{3}$x=2．所以2x+3y=12的一组正整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$
问题：
（1）请你直接写出方程3x-y=6的一组正整数解$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
（2）若$\frac{12}{x-3}$为自然数，则满足条件的正整数x的值有B个．
A．5           B．6           C．7           D．8
（3）七年级某班为了奖励课堂“展示之星”与“质疑之星”，特购买单价为3元的笔记本与单价为5元的钢笔两种奖品，共花费48元，试写出购买方案．

Answer 1

分析 （1）由3x-y=6可得出y=3x-6，代入x=3求出y值即可得出结论；
（2）由$\frac{12}{x-3}$为自然数结合12的因数的个数，即可找出正整数x的个数；
（3）设笔记本买了x本，钢笔买了y支，根据总价=单价×数量，即可得出3x+5y=48，结合x、y均为正整数即可得出二元一次方程的解，再根据方程的解找出各购买方案即可．

解答 解：（1）∵3x-y=6，
∴y=3x-6．
当x=3时，y=3x-6=3，
∴方程3x-y=6的一组正整数解为$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
（2）∵12的因数有：1、2、3、4、6、12，
∴使$\frac{12}{x-3}$为自然数的x值有：4、5、6、7、9、15．
故答案为：B．
（3）设笔记本买了x本，钢笔买了y支，
根据题意得：3x+5y=48，
∴x=16-$\frac{5}{3}$y．
∵x、y均为正整数，
∴y为3的倍数．
当y=3时，x=11；
当y=6时，x=6；
当y=9时，x=1．
∴共有三种购买方案，方案一：购买11个笔记本、3支钢笔；方案二：购买6个笔记本、6支钢笔；方案三：购买1个笔记本、9支钢笔．

点评 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）代入x=3求出y值；（2）根据12因数的个数找出x值的个数；（3）由x、y均为正整数解二元一次方程3x+5y=48．