Question

如图Rt△ABO中，∠ABO=Rt∠，∠A=30°，OB=2，如果将Rt△ABO在坐标平面内，绕原点O按顺时针方向旋转到△OA₁B₁的位置．
（1）求点A、B₁的坐标；
（2）求经过A、O、B₁三点的抛物线解析式；
（3）抛物线对称轴l上是否存在点P，使PO+PB₁的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形AOB中，∠A=30°，OB=2，根据∠A的正切值即可求出AB的长，也就得出了A点的坐标．
求B₁坐标，可过B₁作B₁C⊥OA₁于C，在直角三角形OB₁C中，根据OB₁即OB的长和∠B₁OA的度数即可求出B₁的坐标．
（2）已知了A、O、B₁的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）本题的关键是确定P点的位置，先找出B₁关于抛物线对称轴对称的点，设此点为B₂，连接B₂O，那么B₂O与抛物线对称轴的交点即为P点．可先求出直线OB₂的解析式，然后联立抛物线的对称轴即可求出P点的坐标．

解答：解：
（1）∵Rt△ABO中，∠ABO=90°，∠A=30°，OB=2
∴OA=

OB

sin30°

=2

3

∴A（-2，2

3

）
过B₁作B₁C⊥OA₁于C，B₁C=OB•sin60°=

3

，OC=OB₁cos60°=1
∴B₁（1，

3

）

（2）设y=ax²+bx，把A（-2，2

3

），B₁（1，

3

）代入得

4a-2b=2 3 a+b= 3

解得：

a= 2 3 3 b= 3 3

∴抛物线的解析式为y=

2 3

3

x²+

3

3

x．

（3）函数y=

2 3

3

x²+

3

3

x的对称轴是x=-

1

4

，
则B₁关于对称轴是x=-

1

4

对称的点是B₂（-

3

2

，

3

），
设直线B₂O的解析式是y=kx，将B₂（-

3

2

，

3

）代入得
k=-

2 3

3

，
∴直线B₂O的解析式是y=-

2 3

3

x
当x=-

1

4

时，y=

3

6

，
∴存在P（-

1

4

，

3

6

）使PO+PB₁的值最小．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换等知识点，（3）中正确找出P点的位置是解题的关键．