Question

14．如图，已知P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点为A、B，AC是直径．
（1）求证：BC∥PO；
（2）若AP=8，OP=10，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接AB交PO于F，根据切线的性质得到PO垂直平分AB，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠CAB=90°，于是∠CAB=∠OFB，所以AC∥OP；
（2）根据切线长定理求出AM=BM，PA=PB，AB⊥OP，求出AM长，求出AC和AB，根据勾股定理求出BC即可．

解答 （1）证明：连接AB交OP于M，连接BO．

∵PA，PB是圆的切线，
∴PA=PB，
∵OA=OB，
∴PO垂直平分AB，
∴∠AMO=90°，
∵AC是直径，
∴∠CBA=90°，
∴∠CBA=∠AMO，
∴BC∥OP；

（2）解：∵PA、PB是圆的切线，
∴PA=PB，∠PAO=∠PBO=90°，∠APO=∠BPO，
∴AB⊥OP，AM=BM，
∵AP=8，OP=10，
∴由勾股定理得：AO=OC=OB=6，
在RtPAO中，由三角形面积公式得：$\frac{1}{2}$OP×AM=$\frac{1}{2}$PA×AO，
10×AM=6×8，
AM=4.8，
AB=2AM=9.6，AC=2AO=12，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-9．{6}^{2}}$=7.2．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理，勾股定理，切线长定理的应用，能综合运用性质定理进行推理是解此题的关键．