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14.如图,已知P为⊙O外一点,PA、PB为⊙O的切线,切点为A、B,AC是直径.
(1)求证:BC∥PO;
(2)若AP=8,OP=10,求BC的长.

分析 (1)连接AB交PO于F,根据切线的性质得到PO垂直平分AB,再根据直径所对的圆周角是直角可得∠CAB=90°,于是∠CAB=∠OFB,所以AC∥OP;
(2)根据切线长定理求出AM=BM,PA=PB,AB⊥OP,求出AM长,求出AC和AB,根据勾股定理求出BC即可.

解答 (1)证明:连接AB交OP于M,连接BO.

∵PA,PB是圆的切线,
∴PA=PB,
∵OA=OB,
∴PO垂直平分AB,
∴∠AMO=90°,
∵AC是直径,
∴∠CBA=90°,
∴∠CBA=∠AMO,
∴BC∥OP;

(2)解:∵PA、PB是圆的切线,
∴PA=PB,∠PAO=∠PBO=90°,∠APO=∠BPO,
∴AB⊥OP,AM=BM,
∵AP=8,OP=10,
∴由勾股定理得:AO=OC=OB=6,
在RtPAO中,由三角形面积公式得:$\frac{1}{2}$OP×AM=$\frac{1}{2}$PA×AO,
10×AM=6×8,
AM=4.8,
AB=2AM=9.6,AC=2AO=12,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}-9.{6}^{2}}$=7.2.

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理,勾股定理,切线长定理的应用,能综合运用性质定理进行推理是解此题的关键.

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