Question

【题目】如图1，以为直径的半圆上有一动点，点为弧的中点，连接、相交于点，延长到点，使得，连接、．

（1）求证：是的切线；

（2）如图2，连接，若，求的值；

（3）如图3，若，．求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2） （3）12

【解析】

（1）AB=AM，则∠ABM=∠AMB=∠EMC，点E为弧CF的中点，则∠EBC=∠ECM，而BC为直径，则∠BEC=90°，即可求解；
（2）证明∠ABF=∠MBF=α=∠MCE=∠ABF=∠ACB=α，则∠ABF+∠MBF+∠EBC=∠ABC=90°=3α，分别求出BF、BC、BE线段的长，即可求解；
（3）利用Rt△CEM∽Rt△BEC，即可求解．

（1）如图1，

AB=AM，∴∠ABM=∠AMB=∠EMC，
点E为弧CF的中点，则∠EBC=∠ECM，
∵BC为直径，∴∠BEC=90°，∠BFC=90°，
∴∠EMC+∠ECM=90°，
∴∠ABM+∠MBC=90°，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图2，
∵AF=FM，∠BFC=90°，
∴∠ABF=∠MBF=α=∠MCE，
而∠ABF=∠ACB=α，
∴∠ABF+∠MBF+∠EBC=∠ABC=90°=3α，
∴α=30°，
则BF=BC=r，同理BE=r，而BC=2r，
∴ = ；
（3）如图3，
tan∠ACB=

设：AB=5m，BC=12m，
则AC=13m，CM=AC-AM=8m，
∵∠EBC=∠ECM，
∴Rt△CEM∽Rt△BEC，
∴ ，

即：

解得：EC=12．