Question

【题目】如图，AB为等腰直角△ABC的斜边（AB为定长线段），E为AB的中点，F为AC延长线上的一个动点，线段FB的垂直平分线交线段CE于点O，D为垂足，当F点运动时，给出下列四个结论，其中一定正确的结论有_____（请填写正确序号）

①O为△ABF的外心；②OF⊥OB；③CE+FC＝AB；④FCOB＝OEFB

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①只要证明OA=OB=OF即可．②利用“8字型”证明∠FCJ=∠JOB=90°即可．③先证明 EC+CF=AF，再判断．④正确．证明△OEB∽△FCB即可．

如图，连接AO．

∵CA＝CB，AE＝EB，

∴CE⊥AB，

∴OA＝OB，

∵OD垂直平分线段BF，

∴OF＝OB，

∴OA＝OF＝OB，

∴点O是△ABF的外心，故①正确，

设BC交OF于J．

∵AC＝BC，CO＝CO，AO＝BO，

∴△ACO≌△BCO（SSS），

∴∠CAO＝∠CBO，

∵OA＝OF，

∴∠CAO＝∠CFJ，

∴∠CFJ＝∠OBJ，

∵∠CJF＝∠OJB，

∴∠JOB＝∠JCF＝90°，

∴OF⊥OB，故②正确，

∵CE＝AC，AC+CF＝AF，

显然AF不一定等于AB，故③错误．

∵∠EBC＝∠OBF＝45°，

∴∠EBO＝∠CBF，

∵∠OEB＝∠FCB＝90°，

∴△OEB∽△FCB，

∴ ∴FCOB＝OEFB，故④正确，

故答案为：①②④．