Question

【题目】（14分） 已知：在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．

（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE＝CG；

（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝CM．

【解析】试题分析：（1）通过证△AEC≌△CGB得到AE＝CG；（2）通过证△BCE≌△CAM，便可得BE=CM.

解：（1）∵点D是AB的中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴CD⊥AB，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠CAD＝∠CBD＝45°，

∴∠CAE＝∠BCG．

∵BF⊥CE，∴∠CBG＋∠BCF＝90°，

又∵∠ACE＋∠BCF＝90°，

∴∠ACE＝∠CBG，

在△AEC与△CGB中，∠CAE＝∠BCG，CA=BC，∠ACE＝∠CBG，

∴△AEC≌△CGB，∴AE＝CG．

（2）BE＝CM．理由：∵CH⊥AM，AC⊥BC，∴∠CAM＋∠ACH＝90°，∠BCE＋∠ACH＝90°，∴∠CAM＝∠BCE．

在△BCE与△CAM中，∠CAM＝∠BCE，BC=CA，∠CBE＝∠ACM＝45°，∴△BCE≌△CAM，

∴BE＝CM．