如图.在⊙O的内接△ABC中.∠ACB=90°.AC=2BC.过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D.垂足为E．设P是AC上异于A.C的一个动点.射线AP交l于点F.连接PC与PD.PD交AB于点G．(1)求证:△PAC∽△PDF,(2)若AB=5.AP=BP.求PD的长,(3)在点P运动过程中.设AGBG=x.tan∠AFD=y.求y与x之间的函数关系式．(不要求写� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是

上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．
（1）求证：△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，

，求PD的长；
（3）在点P运动过程中，设

=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）

考点：圆的综合题

专题：几何综合题,压轴题

分析：（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．
（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．
（3）因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转化，∠AFD=∠PCA，连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．但是“此线是否过PB与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想．验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键．常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点．根据等弧对等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴AB是直径，
又∵AB⊥CD，
∵

，
∴∠DPF=180°-∠APD=180°-

所对的圆周角=180°-

所对的圆周角=

ADC

所对的圆周角=∠APC．
在△PAC和△PDF中，

∠APC=∠DPF

∠PAC=∠PDF

，
∴△PAC∽△PDF．

（2）解：如图1，连接PO，则由

，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．

在Rt△ABC中，
∵AC=2BC，
∴AB²=BC²+AC²=5BC²，
∵AB=5，
∴BC=

，
∴AC=2

，
∴CE=AC•sin∠BAC=AC•

•

=2，
AE=AC•cos∠BAC=AC•

•

=4，
∵△AEF为等腰直角三角形，
∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．
∵△APO为等腰直角三角形，AO=

•AB=

，
∴AP=

．
∵△PDF∽△PAC，
∴

，
∴

，
∴PD=

．

（3）解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，

∵HC⊥CB，GH⊥GB，
∴C、G都在以HB为直径的圆上，
∴∠HBG=∠ACQ，
∵C、D关于AB对称，G在AB上，
∴Q、P关于AB对称，
∴

，
∴∠PCA=∠ACQ，
∴∠HBG=∠PCA．
∵△PAC∽△PDF，
∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，
∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=

．
∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG=

•AG=

•AG，
∴y=

•

x．

点评：本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路．

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x+1

•

x2-x

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