Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③ 2S四边形AEPF＝S△ABC；④EF＝PC．上述结论正确的有 （ ）．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

证明△AEP≌△CFP，从而得到①，证明△APF≌△BPE，继而判定△EPF是等腰直角三角形，从而得到②，根据S四边形AEPF=S△AEP+S△APF，经过推导得出③，只有当EF是中位线时EF=CP才成立，从而判断④不一定正确，据此即可得答案.

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，

∴AP=PC=PB，∠B=∠C=∠BAP=∠CAP=45°，AP⊥BC，

∴∠APB=∠APC=90°，

∵∠EPF=90°，

∴∠APE=∠CPF=90°-∠APF，

在△AEP和△CFP中，

，

∴△AEP≌△CFP，

同理△APF≌△BPE，

∴AE=CF，PE=PF，

∴△EPF是等腰直角三角形，

∴S△AEP=S△CPF，

∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF，

=S△CPF+S△APF，

=S△APC，

=S△ABC，

即2S四边形AEPF＝S△ABC；

只有当EF为中位线时才有EF＝CP，其余情况下都不相等，

∴①②③正确，④错误，

即正确的有3个，

故选C．