Question

13．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是边AB上的中线，直线BM∥AC，E是边CA延长线上一点，ED交直线BM于点F，将△EDC沿CD翻折得△E′DC，射线DE′交直线BM于点G．
（1）如图1，当CD⊥EF时，求BF的值；
（2）如图2，当G在点F右侧时，求证：△BDF∽△BGD；
（3）如果△DFG的面积为6$\sqrt{3}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）由∠ACB=90°，AD=BD，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=BD，再由∠BAC=60°，得到三角形ADC为等边三角形，由AC的长求出AD与BD的长，同时求出∠ABC=30°，由BM与AC平行，利用两直线平行内错角相等得到∠MBC=∠ACB=90°，再由CD垂直于EF，得到∠CDE和∠CDF都为直角，在直角三角形EDC中，求出∠DEC为30°，利用两直线平行内错角相等可得出∠BFD也为30°，而由∠CDE-∠CDA求出∠EDA为30°，利用对顶角相等得到∠BDF为30°，即∠BFD=∠BDF，利用等角对等边可得出BD=BF，由BD的长即可求出BF的长；
（2）当点G在点F的右侧时，如图2所示，由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行，得到CE′∥AB，再由两直线平行得到一对内错角相等，利用等量代换得到∠BDG=∠BFD，再由一对公共角，利用两对应角相等的两三角形相似可得出△BDF∽△BGD；
（3）分两种情况考虑：（i）当点G在点F的右侧时，在y与x的关系式中，令y=6$\sqrt{3}$列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长；（ii）当点G在点F的左侧时，如图3所示，列出此时y与x的关系式，令y=6$\sqrt{3}$列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AE的长，综上，得到所有满足题意的AE的长．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∵∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC，
∵AC=4，
∴AD=BD=AC=4，
∵BM∥AC，
∴∠MBC=∠ACB=90°，
又∵CD⊥EF，
∴∠CDF=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD=4；

（2）①证明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，
∴∠ADC=∠E′CD，
∴CE′∥AB，
∴∠CE′D=∠BDG，
∵BM∥AC，
∴∠CED=∠BFD，
又∵∠CE′D=∠CED，
∴∠BDG=∠BFD，
∵∠DBF=∠GBD，
∴△BDF∽△BGD；
（3）设AE=x，得BF=x，∴$\frac{x}{4}$=$\frac{4}{BG}$，BG=$\frac{16}{x}$，
当点G在点F的右侧时，
由题意，得6$\sqrt{3}$=$\frac{16\sqrt{3}}{x}$-$\sqrt{3}x$，
整理，得x²+6x-16=0，
解得x₁=2，x₂=-8（不合题意，舍去），
当点G在点F的左侧时，
由题意，得6$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}x$-$\frac{16\sqrt{3}}{x}$，
整理，得x²-6x-16=0，
解得x₃=8，x₄=-2（不合题意，舍去），
综上所述，AE的值为2或8．

点评 此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，折叠的性质，平行线的判定与性质，以及等腰三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．