Question

如图，P是等边△ABC内一点，且PA=5，PC=12，PB=13，若△APB绕点A逆时针旋转60°后，得到△AP₁C，则∠AP₁C=

 

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Answer 1

考点：旋转的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理的逆定理

专题：

分析：连接PP₁，根据旋转变换的性质可得△AP₁C和△APB全等，根据全等三角形对应边相等可得P₁A=PA，P₁C=PB，然后证明△APP₁是等边三角形，根据等边三角形的每一个角都是60°可得∠AP₁P=60°，每一条边都相等可得PP₁=PA，再根据勾股定理逆定理证明△P₁PC是直角三角形，然后根据∠AP₁C=∠AP₁P+∠PP₁C代入数据进行计算即可得解．

解答：解：如图，连接PP₁，
∵△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP₁C，
∴△AP₁C≌△APB，
∴P₁A=PA=5，P₁C=PB=12，
∵旋转角是60°，
∴△APP₁是等边三角形，
∴∠AP₁P=60°，PP₁=PA=5，
∵PP₁²+PC²=5²+12²=169，P₁C²=PB²=13²=169，
∴PP₁²+PC²=P₁C²，
∴△P₁PC是以∠P₁PC为直角的直角三角形，
∴∠AP₁C=∠AP₁P+∠PP₁C=60°+90°=150°．
故答案为：150°．

点评：本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理的应用，作辅助线构造出等边三角形与直角三角形是解题的关键．