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如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(不需证明).
(温馨提示:在图1中,连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.)
问题一:如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状,请直接写出结论;
问题二:如图3,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明.

【答案】分析:(1)作出两条中位线,根据中位线定理,找到相等的同位角和线段,进而判断出三角形的形状.
(2)利用平行线和中位线定理,可以证得三角形△FAG是等边三角形,再进一步确定∠FGD=∠FDG=30°,进而求出∠AGD=90°,故△AGD的形状可证.
解答:解:(1)取AC中点P,连接PF,PE,
可知PE=
PE∥AB,
∴∠PEF=∠ANF,
同理PF=
PF∥CD,
∴∠PFE=∠CME,
又PE=PF,
∴∠PFE=∠PEF,
∴∠OMN=∠ONM,
∴△OMN为等腰三角形.

(2)判断出△AGD是直角三角形.
证明:如图连接BD,取BD的中点H,连接HF、HE,
∵F是AD的中点,
∴HF∥AB,HF=AB,
同理,HE∥CD,HE=CD,
∵AB=CD
∴HF=HE,
∵∠EFC=60°,
∴∠HEF=60°,
∴∠HEF=∠HFE=60°,
∴△EHF是等边三角形,
∴∠3=∠EFC=∠AFG=60°,
∴△AGF是等边三角形.
∵AF=FD,
∴GF=FD,
∴∠FGD=∠FDG=30°
∴∠AGD=90°
即△AGD是直角三角形.
点评:解答此题的关键是作出三条辅助线,构造出和中位线定理相关的图形.此题结构精巧,考查范围广,综合性强.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

(1)已知:如图1,在四边形ABCD中,E是AD上一点,EC∥AB,EB∥CD,若S△DEC=1,S△ABE=3,则S△BCE=
 
;若S△DEC=S1,S△ABE=S2,S△BCE=S,请直接写出S与S1、S2间的关系式:
 

(2)如图2,△ABC、△DCE、△GEF都是等边三角形,且A、D、G在同一直线上,B、C、E、F也在同一直线上,S△ABC=4,S△DCE=9,试利用(1)中的结论得△GEF的面积为
 

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科目:初中数学 来源: 题型:

我们把既有外接圆又有内切圆的四边形称为双圆四边形,如图1,四边形ABCD是双圆四边形,其外心为O1,内心为O2
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形中,双圆四边形有
 
个;
(2)如图2,在四边形ABCD中,已知:∠B=∠D=90°,AB=AD,问:这个四边形是否是双圆四边形?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由;
(3)如图3,如果双圆四边形ABCD的外心与内心重合于点O,试判定这个四边形的形状,并说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•黑河)如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN
(1)如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=
1
2
∠ABC,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.
(2)如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=
1
2
∠ABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.

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科目:初中数学 来源: 题型:阅读理解

(2013•咸宁)阅读理解:
如图1,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A、点B重合),分别连接ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,试探究AB和BC的数量关系.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2011•东台市二模)在四边形ABCD中,AC=AB,DC=DB,∠CAB=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB延长线上一点,且CE=BF.

思考验证:
(1)求证:DE=DF;
(2)在图1中,若G在AB上且∠EDG=60°,试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明;
归纳结论:
(3)若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α,∠CDB=180°-α,G在AB上,∠EDG满足什么条件时,(2)中结论仍然成立?(只写结果不要证明)
探究应用:
(4)运用(1)(2)(3)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图2,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠CAB=∠CAD=30°,E在AB上,DE⊥AB,且∠DCE=60°,若AE=3,求BE的长.

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