Question

如图，已知：△ABC中，AB=AC，且⊙O内切于△ABC、D、E、F是切点，又CF交圆于G，EG延长交BC于M，AG交圆于K．
（1）求证：△MCG∽△MEC；
（2）若EM⊥CD，求cos∠FAK的值．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题,探究型

分析：（1）根据切线长定理得出AF=AE，利用切线的判定定理得出EF∥BC，进而得出∠GEC=∠GCM即可得出△MCG∽△MEC；
（2）利用△MCG∽△MEC，得出MC²=MG•ME，进而得出，△ABC为正三角形，设CM=a，则AF=CD=2a，AC=4a，CF=2

3

a，CG=

2 3

3

a，故FG=CF-CG=2

3

a-

2 3

3

a=

4 3

3

a，即可得出AG的长，进而得出答案．

解答：（1）证明：如图所示：
连接EF．
∵⊙O是等腰三角形ABC的内切圆，
∴∠GEC=∠EFC，AF=AE
∵AB=AC，
∴EF∥BC，
∴∠EFC=∠GCM，
∴∠GEC=∠GCM，
∵∠GMC=∠EMC，
∴△MCG∽△MEC；

（2）解：∵△MCG∽△MEC，
∴

MC

MG

=

ME

MC

，
∴MC²=MG•ME，
∵CB与圆切于点D，
∴MD²=MG•ME，
∴MC²=MD²，
∴MC=MD，
又∵EM⊥CD，CM=

1

2

CD=

1

2

CE，
故∠2=∠3=30°，∠ACB=60°，△ABC为正三角形，
E、F、D为三边中点，且CF⊥AB，设CM=a，
∴AF=CD=2a，AC=4a，CF=2

3

a，CG=

2 3

3

a，
∴FG=CF-CG=2

3

a-

2 3

3

a=

4 3

3

a，
∴在Rt△AFG中，
AG=

AF2+FG2

=

( 4 3 3 a)2+(2a)2

=

2 21

3

a，
∴cos∠FAK=

AF

AG

=

2a

2 21 3 a

=

21

7

．

点评：此题主要考查了切线长定理以及锐角三角函数的应用等知识，熟练应用切线长定理是解题关键．