【题目】以的各边,在边的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形,,,试探究:
如图中四边形是什么四边形?并说明理由.
当满足什么条件时,四边形是矩形?
当满足什么条件时,四边形是正方形?
【答案】四边形是平行四边形,理由见解析;当时,平行四边形是矩形;当且时,四边形是正方形.
【解析】
(1)根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC,所以全等三角形的对应边DE=AG.然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°,易证ED∥GA;最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论;
(2)根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°.然后由周角的定义求得∠BAC=135°;
(3)由“正方形的内角都是直角,四条边都相等”易证∠DAG=90°,且AG=AD.由□ABDI和□ACHG的性质证得,AC=AB.
图中四边形是平行四边形.理由如下:
∵四边形、四边形、四边形都是正方形,
∴,,,.
∴(同为的余角).
在和中,
,
∴,
∴,.
∵是正方形的对角线,
∴.
∵,
∴
∴,
∴四边形是平行四边形(一组对边平行且相等).
当四边形是矩形时,.
则,
即当时,平行四边形是矩形;
当四边形是正方形时,,且.
由知,当时,.
∵四边形是正方形,
∴.
又∵四边形是正方形,
∴,
∴.
∴当且时,四边形是正方形.
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【题目】为响应国家的号召,减少污染,某厂家生产出一种节能又环保的油电混合动力汽车,既可以用油做动力行驶,也可以用电做动力行驶.这种油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地,若完全用油做动力行驶,费用为108元;若完全用电做动力行驶,费用为36元,已知汽车行驶中每千米用油的费用比用电的费用多0.6元.
(1)求汽车行驶中每千米用电的费用和甲、乙两地之间的距离.
(2)若汽车从甲地到乙地采用油电混合动力行驶,且所需费用不超过60元,则至少需要用电行驶多少千米?
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【题目】在平面直角坐标中,边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上,点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转,当点第一次落在直线上时停止旋转,旋转过程中,边交直线于点,边交轴于点
(1)求边在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当和平行时,求正方形旋转的度数;
(3)设的周长为,在旋转正方形的过程中,值是否有变化?请证明你的结论.
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【题目】如图,在中,,点是直线上一点.
(1)如图1,若,点是边的中点,点是线段上一动点,求周长的最小值.
(2)如图2,若,,是否存在点,使以,,为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直按写出线段的长度:若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,矩形中,,,点从开始沿折线以的速度运动,点从开始沿边以的速度移动,如果点、分别从、同时出发,当其中一点到达时,另一点也随之停止运动,设运动时间为,当________时,四边形也为矩形.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(﹣2,0)、(x1,0),且1<x1<2,与y轴正半轴的交点在(0,2)的下方,在原点的上方.下列结论:①4a﹣2b+c=0;②2a﹣b<0;③2a﹣b>﹣1;④2a+c<0;⑤b>a;其中正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC=3,将△ABC沿着AC翻折得到△ADC,如图(2),将△ADC绕着点A旋转到△AD′C′,连接CD′,当CD′∥AB时,四边形ABCD的面积为_____.
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【题目】如图是由边长为1的小正方形组成的网格,直线是一条网格线,点,在格点上,的三个顶点都在格点(网格线的交点)上.
(1)作出关于直线对称的;
(2)在直线上画出点,使四边形的周长最小;
(3)在这个网格中,到点和点的距离相等的格点有_________个.
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