已知:在矩形A0BC中.分别以OB.OA所在直线为轴和轴.建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点.过E点的反比例函数的图象与BC边交于点F．(1)若△OAE.△OBF的面积分别为S1.S2且S1+S2=2.求k的值,(2)若OB=4.OA=3.记问当点E运动到什么位置时.S有最大值.其最大值为多少?(3)请探索:是否存在这样的点E.使得将△CEF沿EF对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知：在矩形A0BC中，分别以OB，OA所在直线为

轴和

轴，建立如图所示的平面直角坐标系．E是边AC上的一个动点（不与A，C重合），过E点的反比例函数

的图象与BC边交于点F．
（1）若△OAE、△OBF的面积分别为S₁、S₂且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OB=4，OA=3，记

问当点E运动到什么位置时，S有最大值，其最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点E，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点E、F在函数

（k＞0）的图象上，
∴设E（x₁，

），F（x₂，

），x₁＞0，x₂＞0，
∴

，S₂=

，
∵S₁+S₂=2，
∴

，∴k=2；
（2）由题意知：

两点坐标分别为

，

，
∴

∴

．
当

时，

有最大值．

．
此时，点E坐标为（2，3），即点E运动到AC中点．
（3）解：设存在这样的点E，将

沿

对折后，

点恰好落在

边上的

点，过点

作

，垂足为

．

由题意得：

，

，∴

．
又

，
∴

．
∴

，∴

，
∴

．

，∴

，解得

．
∴

，故AE=

．
∴存在符合条件的点E，它的坐标为

（1）用k的代数式表示△OAE、△OBF的面积，根据S₁+S₂=2得到k的方程，解出k
（2）根据题意易表示出点E，点F的坐标，用补的方法来表示△OEF的面积，此时需要注意对于补的图形不能少减或多减，从而得到S是K的二次函数，易求S的最大值
（3）由于△CEF是直角三角形，翻折后还是直角三角形，利用三角形相似得到对应边成比例，求出线段MB，由直角三角形的勾股定理求出K的值，从而求出点E的坐标

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（4）如图，点E为正方形AOBC的OB边一点，点F为BC上一点且∠CAE=∠FEA=60°，求直线EF的解析式.

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