Question

如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．
（1）请你判断直线PQ与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若∠A=30°，AP=，求⊙O半径的长．

Answer 1

解：（1）直线PQ与⊙O相切．理由如下：
连接OP、CP．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°．
又∵Q是AC的中点，
∴PQ=CQ=AQ．
∴∠3=∠4，
∵∠BCA=90°，
∴∠2+∠4=90°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠3=90°．
即∠OPQ=90°，
∴直线PQ与⊙O相切；


（2）∵∠A=30°，AP=2，
∴在Rt△APC中，AC==4，
∴在Rt△ABC中，BC=AC•tan30°=．
∴BO=．
∴⊙O半径的长为．
分析：（1）首先连接OP、CP，由BC是⊙O的直径，根据圆周角定理可得∠BPC=90°，又由Q是AC的中点，根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得PQ=CQ=AQ，继而可证得∠1+∠3=90°，则可得直线PQ与⊙O相切；
（2）由∠A=30°，AP=，分别在Rt△APC与Rt△ABC中，利用三角函数的性质即可求得答案．
点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．