Question

23、九（下）“几何回顾”一章中，课本有一习题：如图1，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OE=OF．求证：∠ACF=∠DBE．
小敏在完成题目的证明后的总结回顾中，对BE与CF的位置关系进行了探索：
（1）小敏发现：在图1中，CF⊥BE．请你替小敏写出证明过程．
（2）小敏继而猜想：如果E在CA的延长线上，而F在DB或BD的延长线上时，CF⊥BE仍然成立．你认为小敏的这个猜想是否正确？请你分别在图2和图3中，通过作图进行判断，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出△OEB≌△OFC，从而得出∠OBE=∠OCF，再由∠EOB=90°可得出结论．
（2）结合（1）的证明过程可得当F在DB的延长线上时，则CF⊥BE仍然成立，而若F在BD的延长线上时，则小敏的猜想不正确．

解答：（1）证明：由题意可证得△OEB≌△OFC，得∠OBE=∠OCF，
由∠EOB=90°，得∠OBE+∠OEB=∠OCF+∠OEB=90°，
从而CF⊥BE．
（2）解：如图2，若F在DB的延长线上时，则CF⊥BE仍然成立．
证明（略）方法同上，

如图3，若F在BD的延长线上时，则小敏的猜想不正确．证明如下：
延长EB和FC交于点P，
∵∠PCB是△CFB的一个外角，
∴∠PCB＞∠CBD=45°，同理，∠CBP＞45⁰，即∠PCB+∠CBP＞90°，（11分）
∴∠P＜90°．

点评：本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定，有一定的难度，注意在解答下面问题的时候要利用上面问题的结论，从而使问题简单化．