Question

【题目】如图，直线 y=﹣x+2 与反比例函数 y=（k≠0）的图象交于 A（a，3）、B（3，b）两点，直线 AB 交 y 轴于点 C、交 x 轴于点 D．

(1)请直接写出 a=_______，b=______，反比例函数的解析式为_______．

(2)在 x 轴上是否存在一点 E，使得∠EBD=∠OAC，若存在请求出点 E 的坐标， 若不存在，请说明理由．

(3)点P 是 x 轴上的动点，点 Q 是平面内的动点，是以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是矩形，若存在请求出点 Q 的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)-1，-1，-3；(2)满足条件的点 E 坐标为（0，0）或（，0）；(3)满足条件的点 Q 坐标为（0，﹣4）或（0，4）或（1+，2）或（1﹣，2）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题；

分两种情形：①当点 E 与 O 重合时，∠EBD=∠OAC，此时 E（0，0）．②作 BE′∥OA，则∠E′BD=∠OAC，分别求解即可解决问题；

分四种情形画出图形，分别求解即可解决问题；

(1)∵A（a，3）、B（3，b）两点在 y=﹣x+2 上，

∴a=﹣1，b=﹣1，

∴A（﹣1，3），（3，﹣1），

∵A（﹣1，3）在 y=上，

∴k=﹣3．

故答案为﹣1，﹣1，﹣3．

如图 1 中，连接 OB．

∵A（﹣1，3），B（3，﹣1），

∴OA=OB= ，

∴∠OAC=∠OBD，

∴当点 E 与 O 重合时，∠EBD=∠OAC，此时 E（0，0）．作 BE′∥OA，则∠E′BD=∠OAC，

由题意 D（2，0），

∴AD= =3，BD= = ，

∵ BE′∥OA，

∴

∴ ，

∴DE′=

∴OE′= ，

∴E′（，0），

综上所述，满足条件的点 E 坐标为（0，0）或（，0）．

存在．如图 2 中：

①当四边形 AP1Q1B 是矩形时，易知 P1（﹣4，0），

点 B（3，﹣1）向左平移 3 个单位，向下平移 3 个单位得到 Q1（0，﹣4）；

②当四边形 BP2Q2A 是矩形时，P2（4，0），

点 A（3．﹣1）向右平移一个单位，向上平移一个单位得到 Q2（0，4）．

③当 AB 是矩形的对角线时，设 AB 的中点为 R（1，1），设 P3（m，0），

∵RP=2，

∴（1﹣m）2+12=（2 ）2，

∴ m=1+ 或 1﹣，

∴P3（1﹣，0），P4（1+，2），

∴Q3（1+，2），Q4（1﹣，2），

综上所述，满足条件的点 Q 坐标为（0，﹣4）或（0，4）或（1+，2）或（1-，2）．