Question

如图所示，AB是半圆的直径，∠C的两边分别与半圆相切于A，D两点，DE⊥AB，垂足为E，AE=3，BE=1，则图中阴影部分的面积为（　　）

• A、4

  3

  -4π
• B、

  9

  2

  3

  -

  4

  3

  π
• C、

  9

  2

  3

  -4π
• D、4

  3

  -

  4

  3

  π

Answer 1

分析：本题可设半圆的圆心为O，连接OD，则阴影部分的面积可用梯形ACDE和扇形AOD、△ODE的面积差来求得．已知了AE、BE的长，即可得知圆的直径和半径长．在Rt△ODE中，可根据OD和OE的长，求得∠DOE的度数，即可求得扇形AOD的圆心角，由此可求得△ODE和扇形AOD的面积．下面再求梯形ACDE的面积．关键是求出梯形的下底AC的长，连接AD，不难得出△ACD是个等边三角形，那么可在△ADE中求得AD的长，即可得出AC的长．由此可求出梯形的面积．根据上面分析的阴影部分面积的计算方法即可得出所求的值．

解答：解：设圆的圆心是O，连接OD，OB．根据题意，得：圆的直径是4，则圆的半径是2．
∴OE=BE=1．
在Rt△ODE中，OD=2，OE=1，则∠DOE=60°，DE=

3

；
∴△OBD是等边三角形，∠AOD=120°．
连接AD，则∠ADB=90°．
∴∠DAB=30°，
∴∠DAC=60°；又AC=CD，
∴△ACD是等边三角形．
∴AC=AD=2

3

．
则S_梯形ACDE=

9

2

3

，S_扇形AOD=

120π×4

360

=

4π

3

，S_△ODE=

3

2

；
所以阴影部分的面积是

9

2

3

-

3

2

-

4π

3

=4

3

-

4π

3

．
故选D．

点评：此题主要是能够发现等边三角形和30°的直角三角形，熟悉直角梯形、扇形和直角三角形的面积公式．