Question

已知抛物线y=ax²+bx+c开口向下，并且经过A（0，1）和M（2，-3）两点．
（1）若抛物线的对称轴为直线x=-1，求此抛物线的解析式；
（2）如果抛物线的对称轴在y轴的左侧，试求a的取值范围；
（3）如果抛物线与x轴交于B、C两点，且∠BAC=90°，求此时a的值．

Answer 1

分析：（1）可将A、M的坐标代入抛物线的解析式中，用a替换掉b、c的值，再根据抛物线的对称轴为-1，即可求出a的值，也就确定了抛物线的解析式．
（2）抛物线的对称轴在y轴左侧，即抛物线对称轴方程小于0，由此可得出a的取值范围．
（3）可设出B、C的坐标，如果∠BAC=90°，在直角三角形BAC中，可根据射影定理得出OA²=OC•OB，据此可得出a的值．

解答：解：将A、M的坐标代入抛物线的解析式中有：

c=1 4a+2b+c=-3

，
解得：

b=-2-2a c=1

∴抛物线的解析式为y=ax²-（2+2a）x+1．
（1）∵x=-

-(2+2a)

2a

=-1，
∴

1+a

a

=-1，
解得a=-

1

2

．
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²-x+1．
（2）由题意知：x=-

-(2+2a)

2a

＜0，即-

1+a

a

＜0；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0
∴1+a＞0，且a＜0
∴-1＜a＜0．
（3）设B（x₁，0），C（x₂，0），x₁＜x₂；
∵x₁x₂=

1

a

，且a＜0．
∴x₁x₂＜0，即B在x轴负半轴，C在x轴正半轴；
∴OB=-x₁，OC=x₂．
∵∠BAC=90°，
在直角三角形BAC中，AO⊥BC，根据射影定理可得：
OA²=OB•OC=-x₁•x₂=1，即-

1

a

=1，a=-1．

点评：本题主要考查了抛物线对称轴解析式、二次函数与一元二次方程的关系、韦达定理等知识．