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    给出用线段长为2，4为边构成凸四边形以下4种．
    问题1 问题2 问题3 问题4
    条件 AB=4，BC=2，CD=4，DA=2 AB=4，BC=2，CD=2，DA=4 AB=4，BC=2，CD=2，DA=2 AB=4，BC=4，CD=2，DA=4
    图形
    （1）①当∠A=60°时，直接写出问题1，3中四边形ABCD的面积？
    ②在问题2中，∠A能否等于60°？说明理由．
    ③在问题4中，当∠A=60°时，求四边形ABCD的面积？
    （2）①在4个问题的条件中，分别写出他们4个数据的极差
    ②在4个问题中，分别写出他们四个数据的方差？
    （3）有2组数据：（Ⅰ）a  a  a  3（Ⅱ）a  3  3  3，请比较这2组数据的方差的大小？
    分析：（1）①过D作DE⊥AB于E，求出∠ADE=30°，求出高DE，根据平行四边形的面积公式求出即可．求出四边形是等腰梯形，求出梯形的高，根据面积公式求出即可．
    ②连接BD，得出等边三角形ABD，求出BD=CD+BC，根据三角形三边关系定理判断即可．
    ③连接BD，过B作BH⊥DC于H，过D作DE⊥AB于E，分别求出△ABD和△BDC的面积，即可求出答案．
    （2）①根据极差定义求出即可．
    ②先求出数据的平均数，再根据方差公式求出即可．
    （3）先求出数据的平均数，再根据方差公式求出即可．
    解答：解：（1）①
    过D作DE⊥AB于E，
    则∠DEA=90°，
    ∵∠A=60°，
    ∴∠ADE=30°，
    ∵AD=2，
    ∴AE=
    1
    2
    AD=1，
    ∴由勾股定理得：DE=
    		3
    ，
    ∵AD=BC=2，AB=DC=4，
    ∴四边形ABCD是平行四边形，
    ∴四边形ABCD的面积是AB×DE=4
    		3
    ；

    如图，

    在AB上取一点F，使AD=DF=2，过D作过D作DE⊥AB于E，
    则DE=
    		3
    ，
    ∵AD=DF，∠A=60°
    ∴△ADF是等边三角形，
    ∴AF=AD=2，DF=AD=BC=2，
    ∵AB=4，
    ∴BF=4-2=2=DC，
    ∴四边形DFBC是平行四边形，
    ∴DC∥AB，
    即四边形ADCB是等腰梯形，
    ∴四边形ABCD的面积是
    1
    2
    （DC+AB）×DE=
    1
    2
    ×（2+4）×
    		3
    =3
    		3
    ；
    ②
    在问题2中，∠A不能等于60°，
    理由是：如图，连接BD，
    ∵AB=4，DA=4，当∠A=60°时，△ABD是等边三角形，
    ∴BD=AB=4=2+2=DC+BC，不符合三角形三边关系定理，
    即在问题2中，∠A不能等于60°．

    ③
    如图，连接BD，过B作BH⊥DC于H，过D作DE⊥AB于E，
    则∠AED=90°，
    ∵∠A=60°，AB=AD=4，
    ∴∠ADE=30°，
    ∴DE=AD•cos60°=2
    		3
    ，
    ∵AB=AD=4，∠A=60°，
    ∴△ABD是等边三角形，
    ∴BD=4=BC，
    ∵BH⊥DC，
    ∴CH=DH=
    1
    2
    DC=
    1
    2
    ×2=1，
    在△BHD中，有勾股定理得：BH=
    		42-12
    =
    		15
    ，
    ∴四边形ABCD的面积S=S△ADB+S△BDC=
    1
    2
    ×4×2
    		3
    +
    1
    2
    ×2×
    		15
    =4
    		3
    +
    		15
    ．

    （2）①4组数据的极差都是4-2=4．
    ②∵问题1，数据是4、4、2、2，
    ∴平均数是
    1
    4
    ×（4+4+2+2）=3，
    ∴（4-3）2+（4-3）2+（2-3）2+（2-3）2=4，
    方差是S12=
    1
    4
    ×4=1，
    同理：问题2的方差是1，
    问题3，∵数据数据是4、2、2、2，
    ∴平均数是
    1
    4
    ×（4+2+2+2）=2.5，
    ∴（4-2.5）2+（2-2.5）2+（2-2.5）2+（2-2.5）2=3，
    方差是S32=
    1
    4
    ×3=0.75，
    问题4，∵数据是4、4、，4、2，
    ∴平均数是
    1
    4
    ×（4+4+4+2）=3.5，
    ∴（4-3.5）2+（4-3.5）2+（4-3.5）2+（2-3.5）2=3，
    方差是S42=
    1
    4
    ×3=0.75，
    即4组数据的方差依次为1，1，0.75，0.75．

    （3）（I）∵a  a  a  3，
    ∴平均数是
    1
    4
    （a+a+a+3）=
    3a+3
    4
    ，
    ∴（a-
    3a+3
    4
    ）2+（a-
    3a+3
    4
    ）2+（a-
    3a+3
    4
    ）2+（3-
    3a+3
    4
    ）2=
    3(a-3)2
    4
    ，
    方差是=
    1
    4
    ×
    3(a-3)2
    4
    =3×（
    a-3
    4
    ）2，

    （Ⅱ）a  3  3  3，
    ∴平均数是
    1
    4
    （a+3+3+3）=
    a+9
    4
    ，
    ∴（a-
    a+9
    4
    ）2+（3-
    a+9
    4
    ）2+（3-
    a+9
    4
    ）2+（3-
    a+9
    3
    ）2=
    3(a-3)2
    4
    ，
    方差是=
    1
    4
    ×
    3(a-3)2
    4
    =3×（
    a-3
    4
    ）2，
    即2组数据的方差相等．
    点评：本题考查了方差，极差，等腰梯形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
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