Question

20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，AD=20．
（1）求BC的长；
（2）求$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出∠ABC=60°，再求出∠CBD=∠ABD=30°，得出∠ABD=∠A，求出BD，再求出CD，最后根据BC=$\sqrt{B{D}^{2}{-CD}^{2}}$代入计算即可；
（2）先根据直角三角形的面积公式分别求出S_△BCD，S_△ABC，再代入$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$，计算即可求解．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠CBD=∠ABD=30°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=20，
∴CD=$\frac{1}{2}$BD=10，
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}{-CD}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$；

（2）∵S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×10=50$\sqrt{3}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×（20+10）=150$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=$\frac{50\sqrt{3}}{150\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形，用到的知识点是含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是得出BD=AD．