精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
20.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20.
(1)求BC的长;
(2)求$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$的值.

分析 (1)先求出∠ABC=60°,再求出∠CBD=∠ABD=30°,得出∠ABD=∠A,求出BD,再求出CD,最后根据BC=$\sqrt{B{D}^{2}{-CD}^{2}}$代入计算即可;
(2)先根据直角三角形的面积公式分别求出S△BCD,S△ABC,再代入$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$,计算即可求解.

解答 解:(1)在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠ABC=60°,
∵BD是∠ABC的平分线,
∴∠CBD=∠ABD=30°,
∴∠ABD=∠A,
∴AD=BD=20,
∴CD=$\frac{1}{2}$BD=10,
∴BC=$\sqrt{B{D}^{2}{-CD}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$;

(2)∵S△BCD=$\frac{1}{2}$BC•CD=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×10=50$\sqrt{3}$,
S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×(20+10)=150$\sqrt{3}$,
∴$\frac{{{S_{△BCD}}}}{{{S_{△ABC}}}}$=$\frac{50\sqrt{3}}{150\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$.

点评 本题考查了解直角三角形,用到的知识点是含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积,解题的关键是得出BD=AD.

练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

10.下列各组单项式中,不是同类项的是(  )
A.-2与5B.6a2mb与-a2bmC.2abx3与$-\frac{5}{6}ba{x^3}$D.$\frac{1}{2}{x^3}y$与$-\frac{1}{2}x{y^3}$

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

11.“把弯曲的公路改直,就能缩短路程”其中蕴含的数学道理是(  )
A.两点确定一条直线B.两点之间直线最短
C.两点之间线段最短D.直线比曲线短

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

8.已知点P的坐标是(2,3),则点P到x轴的距离是3.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

15.已知,如图,点D.E分别在AB、AC上,点F在BC的延长线上,∠A=35°,∠ACF=105°,∠ADE=70°.求证:DE∥BF.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:解答题

5.(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′(其中A′,B′,C′分别是A,B,C的对应点,不写画法);
(2)△ABC的面积为5.5.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列式子
①abc<0;②a<$\frac{c-b}{2}$;③0<b<-2a;④a-b+c<0中,
成立的个数有(  )
A.①④B.①②④C.①③④D.①②③④

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:选择题

9.若方程(m-1)${x}^{{m}^{2}+1}$+2mx-3=0是关于x的一元二次方程,则m的值(  )
A.1B.-1C.±1D.2

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:填空题

10.如图,直线AB与CD相交于点O,若∠AOC+∠BOD=80°,则∠AOC=40°.

查看答案和解析>>

同步练习册答案