Question

在正整数范围内，方程组（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，y≤1000有多少组解？其中（　　）、[]分别表示最大公约数和最小公倍数．

A、3

B、6

C、12

D、24

Answer 1

分析：根据60、90分别是y的约数可得出y=180k（k取正整数），结合y≤1000讨论k的值，然后每一个y值可得出符合题意的x、z的组合，继而可得出答案．

解答：解：由题意得，60、90都是y的约数，
∴y=180k（k取正整数），
又∵y≤1000，
则k≤5；
①当k=1时，y=180，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
∴可得x=120，z=90，
则（x，z）=（120，90），此时有1组解．
②当k=2时，y=360，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
没有符合题意的x和z，此时没有解．
③当k=3时，y=540，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，
则（x，z）=（120，90），此时有1组解．
④当k=4时，y=720，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，
∴可得x=60，z=90，
又∵[z，x]=360，
∴没有符合题意的x和z，此时没有解．
⑤当k=5时，y=900，
∵（x，y）=60，（y，z）=90，
∴可得x=60或120或360，z=90或360，
又∵[z，x]=360，
则（x，z）=（120，90），此时有1组解．
综上可得共有3组解．
故选A．

点评：本题考查了最大公约数及最小公倍数，根据题意得出y=180k是解答本题的关键，难点在于分类讨论k的值时，判断符合题意的x、z的组合，难度较大，要求细心解答．