Question

【题目】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，设AD＝x，△AOB的面积为y．

（1）求∠DBC的度数；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）如图1，设点P、Q分别是边BC、AB的中点，分别联结OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）∠DBC＝45；（2）y＝x（x＞0）；（3）满足条件的AD的值为10﹣10．

【解析】

（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点，只要证明△BDE是等腰直角三角形即可解决问题；

（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，由题意OA=x，OB=5，根据y=OAOB计算即可；

（3）分三种情形讨论即可解决问题；

（1）过点D作AC的平行线DE，与BC的延长线交于E点．

∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，

∴四边形ACED为平行四边形，AC＝DE，AD＝CE，

∵AB＝CD，

∴梯形ABCD为等腰梯形，

∴AC＝BD，

∴BD＝DE，

又AC⊥BD，

∴∠BOC＝90°

∵AC∥DE

∴∠BDE＝90°，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴∠DBC＝45°．

（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，

∵AD＝x，BC＝10，

∴OA＝x，OB＝5，

∴y＝．

（3）如图2中，

①当PQ＝PO＝BC＝5时，

∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，

∴PQ∥AC，PQ＝AC，

∴AC＝10，∵OC＝5，

∴OA＝10﹣5，

∴AD＝OA＝10﹣10．

②当OQ＝OP＝5时，AB＝2OQ＝10，此时AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，

∴∠ABC＝90°，同理可证：∠DCB＝90°，

∴四边形ABCD是矩形，不符合题意，此种情形不存在．

③当OQ＝PQ时，AB＝2OQ，AC＝2PQ，

∴AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠BAC＝90°＝∠BOC，显然不可能，

综上所述，满足条件的AD的值为10﹣10．