Question

在平面直角坐标中，边长为2的正三角形OAB的顶点A在y轴正半轴上，点O在原点．现将正三角形OAB绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=

3

x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=

3

x于点M，点B在x轴投影为N（如图）．求：
（1）初始状态时直线AB的解析式；
（2）OA边在旋转过程中所扫过的面积；
（3）△OMN从开始运动到到停止状态前后面积比．

Answer 1

分析：（1）由边长为2的正三角形OAB的顶点A在y轴正半轴上，即可求得ON的长，则可求得A与B的坐标，然后利用待定系数法，即可求得初始状态时直线AB的解析式；
（2）由OA边在旋转过程中所扫过的扇形的角为30°，半径为2，则可利用扇形面积的求解方法求得OA边在旋转过程中所扫过的面积；
（3）由在初始状态下，由OB平分∠MON，易得△MON为正三角形，则可求得△MON的面积，又由停止运动时，△MON≌△AOB，即可求得此时△MON的面积，继而求得△OMN从开始运动到到停止状态前后面积比．

解答：解：（1）∵△OAB是边长为2的正三角形，
∴OB=OA=2，∠AOB=60°，
∴∠BON=30°，
∴ON=OB•cos30°=2×

3

2

=

3

，
∴A（0，2），B（

3

，1），
设直线AB的解析式为y=k₁x+b₁．
则

b1=2 3 k1+b1=1

，
解得：

k1=- 3 3 b1=2

，
故直线AB的解析式y=-

3

3

x+2；

（2）∵直线y=

3

x与x轴的夹角为：60°，
∴∠AOM=30°，
∴OA边扫过面积S=

30°

360°

×π×2²=

1

3

π；

（3）在初始状态下，∵∠AOM=∠BOM=30°，
∴OB平分∠MON，
∴OM=ON，
∴△MON为正三角形，
∴S_△MOM=

1

2

OM、ON•sin60°=

1

2

×

3

×

3

2

=

3 3

4

．
停止运动时，
在△MON和△AOB中，
∵

OM=OA ∠MON=∠AOB OB=ON

，
∴△MON≌△AOB（SAS），
∴S_△MON=

3

4

×22=

3

，
则前后面积比为：

3 3 4

3

=

3

4

．

点评：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式、等边三角形的判定与性质、三角函数、全等三角形的判定与性质以及扇形的面积公式．此题难度较大，综合性较强，注意掌握数形结合思想的应用．