Question

【题目】如图，一次函数的图像与x轴和y轴分别交于点A和B，再将沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D，连接BC.

（1）求点A和点B的坐标；

（2）求；

（3）在y轴上有一点P，且是等腰三角形，求出点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）A的坐标为(4,0) B的坐标为(0,3)（2）（3）（0,8）、（0,-2）、（0，-3）、（0，）.

【解析】

（1）令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值，即可求出A、B两点的坐标.(2)根据勾股定理求出OC的长即可解决.(3)在y轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，分三种情况讨论，即当BP=BA时；当AP=AB时；当PB=PA时.

解:⑴因为A、B两点都在一次函数的直线上

令y = 0则x = 4；令x = 0,则y = 3,

故点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3).

(2)设 OC =m,则 AC=CB =4-m

∵∠BOA = 90°,

∴ ,

,

解得.

∴,

(3)∵A的坐标为(4,0)，B的坐标为(0,3)

∴OB=3,OA=4，在Rt△OAB中

所以AB=5

当BP=BA时，P点可能在B点上方，也可能在B点下方，

当P点可能在B点上方时，OP=OB+BP=3+5=8，此时P点坐标为（0,8）

当P点可能在B点下方时，OP=BP-OB=5-3=2，此时P点坐标为（0,-2）

当AP=AB时，x轴为三角形ABP的垂直平分线，此时OB=OP,此时P点坐标为（0，-3）

当PB=PA时，设P点坐标为（0，n），

整理得：6n+7=0，解得n= ，故P点坐标为（0，）

故点P的坐标为：0,8）、（0,-2）、（0，-3）、（0，）.