Question

3．如图1，已知∠MON=90°，点A、B分别是∠MON的边OM，ON上的点．且OA=OB=1，将线段OA绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到线段OC，∠AOC的角平分线OP与直线BC相交于点P，点D是线段BC的中点，连接OD．
（1）若α=30°，如图2，∠P的度数为45°；
（2）若0°＜α＜90°，如图1，求∠P的度数；

（3）在下面的A、B两题中任选一题解答．
A：在（2）的条件下，在图1中连接PA，求PA²+PB²的值．
B：如图3，若90°＜α＜180°，其余条件都不变．请在图3中画出相应的图形，探究下列问题：①直接写出此时∠P的度数；②求此时PC²+PB²的值．
我选择A或B题．

Answer 1

分析 （1）先根据旋转30°，求得∠COP的度数，再判定△BOC是等边三角形，求得∠OCB的度数，最后根据三角形外角性质，求得∠P的度数；
（2）先根据等腰三角形BOC，利用三线合一，求得∠COD的度数为$\frac{1}{2}$（90°-α），再根据OP平分∠AOC，求得∠POC=$\frac{1}{2}$α，最后根据∠POD=∠POC+∠COD，求得∠POD为45°，进而根据∠P与∠POD互余，求得∠P的度数；
（3）选择A题，先判定△AOP≌△COP（SAS），得出∠APB=90°，再根据勾股定理得到：PA²+PB²=AB²=OA²+OB²，根据OA=OB=1，进行计算即可．选择B题，先判定△ODP为等腰直角三角形，求得∠P的度数，再根据PC²+PB²=（PD+BD）²+（PD-BD）²进行推导即可得出结论．

解答 解：（1）如图2，若α=30°，则∠COP=$\frac{1}{2}$∠AOC=15°，∠BOC=60°，
∵CO=AO=BO，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠OCB=60°，
∴∠P的度数为：60°-15°=45°，
故答案为：45°；

（2）证明：由旋转得，OA=OC，∠AOC=α，
∵OA=OB，
∴OC=OB，
∵点D是线段BC的中点，
∴OD⊥BC，∠COD=∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠AOB=90°，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$（90°-α），
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC=$\frac{1}{2}$α，
∴∠POD=∠POC+∠COD=45°，
∵∠ODP=90°，
∴∠P=90°-45°=45°；

（3）选择A题．
如图1，连接AB、AP，
∵OP平分∠AOC，
∴∠AOP=∠COP，
在△AOP和△COP中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△COP（SAS），
∴∠APO=∠CPO=45°，
∴∠APB=90°，
∴在Rt△APB中，由勾股定理得，PA²+PB²=AB²，
∵在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB²=OA²+OB²=1²+1²=2，
∴PA²+PB²=2．

选择B题．
①∠P=45°．
理由：如图3，根据旋转可得，OC=OA=OB，
∵D是BC中点，
∴OD⊥BC，即∠ODP=90°，
且OD平分∠BOC，
又∵OP平分∠AOC，
∴∠DOP=∠COP-∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴Rt△ODP中，∠P=45°；
②PC²+PB²的值为2．
理由：∵OD⊥BC，∠P=45°，
∴△OPD是等腰直角三角形，
∴PD=OD，
∵PC=PD+BD，PB=PD-BD，
∴PC²+PB²
=（PD+BD）²+（PD-BD）²
=2PD²+2BD²
=2（PD²+BD²）
=2（OD²+BD²）
=2×OB²
=2×1²
=2
故PC²+PB²的值为2．

点评 本题以旋转为背景，主要考查了等边三角形、全等三角形以及勾股定理的综合应用．在图形的旋转过程中，旋转前、后的图形全等，故对应角相等，对应边相等，这是解决旋转问题的关键．等边三角形的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件，等边三角形具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．