Question

（2012•黔东南州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D．
（1）求证：△ABC∽△BDC．
（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面积．

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切线，根据同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABC∽△BDC；
（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．

解答：（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCD=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠CBD+∠D=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABC∽△BDC；

（2）解：∵△ABC∽△BDC，
∴

S△ABC

S△BDC

=(

AC

BC

)2，
∵AC=8，BC=6，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

×8×6=24，
∴S_△BDC=S_△ABC÷(

AC

BC

)2=24÷（

8

6

）²=

27

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、切线的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．