Question

（11·钦州）（本题满分12分）．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线的顶点为
∴设抛物线的函数关系式为y＝a ( x－1) ²＋                    ………………2分
∵抛物线与y轴交于点C (0，4)，
∴a (0－1) ²＋＝4
解得a＝－
∴所求抛物线的函数关系式为y＝－ ( x－1) ²＋                 ………………4分
（2）解：，    ………………8分
（3）解：令－ ( x－1) ²＋＝0，解得x₁＝－2，x₁＝4
∴抛物线y＝－ ( x－1) ²＋与x轴的交点为A (－2，0) C (4，0)………………9分
过点F作FM⊥OB于点M，

设E点坐标为 (x，0)，则EB＝4－x，MF＝ (4－x)              …………10分

当x＝1时，S_最大值＝3                                         …………11分
此时点E的坐标为 (1，0)                                     …………12分

解析