分析 先延长EF和BC,交于点G,再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形,并求得其斜边BE的长,然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形,最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系,并根据BG=BC+CG进行计算即可.
解答 解:延长EF和BC,交于点G
∵矩形ABCD中,∠B的角平分线BE与AD交于点E,
∴∠ABE=∠AEB=45°,
∴AB=AE=9,
∴直角三角形ABE中,BE=$\sqrt{{9}^{2}+{9}^{2}}$=$9\sqrt{2}$,
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F,
∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC
∴∠G=∠DEF
∴∠BEG=∠G
∴BG=BE=$9\sqrt{2}$
由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC
∴$\frac{CG}{DE}=\frac{CF}{DF}=\frac{CF}{2CF}=\frac{1}{2}$
设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG
∴$9\sqrt{2}$=9+2x+x
解得x=$3\sqrt{2}-3$
∴BC=9+2($3\sqrt{2}$-3)=$6\sqrt{2}+3$
故答案为:$6\sqrt{2}+3$
点评 本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形,解决问题的关键是掌握矩形的性质:矩形的四个角都是直角,矩形的对边相等.解题时注意:有两个角对应相等的两个三角形相似.
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