Question

如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB都是锐角，D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC将△ABC沿直线DE翻折得到△HGF，其中点A和H，点B和G，点C和F分别对应．
（1）若AB=AC，求证：四边形AEHD是菱形；
（2）判断四边形GFCB是什么四边形，说明理由；
（3）如果△BGD和△DEA相似，请你判断四边形AEHD是什么四边形，说明理由．

Answer 1

分析：（1）要证四边形AFCE是菱形，只需由已知条件证明其四边相等即可．
（2）由题意易知，四边形ABCD是平行四边形，再证得一个直角即可．
（3）若△BGD和△DEA相似，可证得AEHD是菱形，再证菱形中有一个角是直角．

解答：解：（1）由题意得，AD=DH，AE=EH，又DE∥BC，
则∠ADE=∠ABC=∠ACB=∠AED，
∴AD=AE，
∴AD=AE=EH=DH，
∴四边形AEHD是菱形；（3分）

（2）四边形GFCB是矩形，（4分）
由题意知，DE是BG的中垂线，DE∥BC
∠GBC=∠BGF，（5分）
∵GF∥BC，
则∠FGB=∠GBC=90°，
同理∠BCF=∠GFC=90°，
则四边形GFCB是矩形；（6分）

（3）四边形AEHD是正方形，（7分）
理由是：△BGD和△AED相似，且GD=BD，
则△AED也是一个等腰三角形，
∠ADE=∠DBG，（8分）
又∠ADE=∠ABC，
∠GBD=∠ABC=

1

2

×90=45°；（9分）
由∠AED=∠ACB为锐角得
则∠AED=∠ADE=45°，即AD=AE，（10分）
由AD=DH，AE=EH，得四边形AEHD是菱形；
由∠A=180°-45°×2=90°，得菱形AEHD是正方形（11分）

点评：本题考查了各种特殊四边形的证明，各种四边形的判定方法是证明的理论依据，熟记判定定理，选择适当的方法是解题的关键．