Question

已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB＝60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB＝α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．

(1)如图，求证：△AGD≌△AEB；

(2)当α＝60°时，在图中画出图形并求出线段CF的长；

(3)若∠CEF＝90°，在图中画出图形并求出△CEF的面积．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)∵菱形ABCD绕着点A逆时针旋转得到菱形AEFG，

　　∴AG＝AD，AE＝AB，∠GAD＝∠EAB＝α．

　　∵四边形AEFG是菱形，

　　∴AD＝AB．

　　∴AG＝AE．

　　∴△AGD≌△AEG．(3分)

　　(2)解法一：如图，当α＝60°时，AE与AD重合，(4分)

　　作DH⊥CF于H．由已知可得∠CDF＝120°，DF＝DC＝5．

　　∴∠CDH＝∠CDF＝60°，CH＝CF．

　　在Rt△CDH中，

　　∵CH＝DCsin60°＝5×＝，(6分)

　　∴CF＝2CH＝5．(7分)

　　解法二：如上图，当α＝60°时，AE与AD重合，(4分)

　　连结AF、AC、BD、AC与BD交于点O．

　　由题意，知AF＝AC，∠FAC＝60°．

　　∴△AFC是等边三角形．

　　∴FC＝AC．

　　由已知，∠DAO＝∠BAD＝30°，AC⊥BD，

　　∴AO＝ADcos30°＝．(6分)

　　∴AC＝2AO＝5．

　　∴FC＝AC＝5．(7分)

　　(3)如图，当∠CEF＝90°时，(8分)

　　延长CE交AG于M，连接AC．

　　∵四边形AEFG是菱形，

　　∴EF∥AG．

　　∵∠CEF＝90°，

　　∴∠GME＝90°．

　　∴∠AME＝90°．(9分)

　　在Rt△AME中，AE＝5，∠MAE＝60°，

　　∴AM＝AEcos60°＝，EM＝AEsin60°＝．

在Rt△AMC中，易求AC＝5，

　　∴MC＝＝

　　＝．

　　∴EC＝MC－ME＝－

　　＝(－)．(11分)

　　∴S_△CEF＝·EC·EF＝．(12分)