Question

19．已知x₁和x₂是关于x的一元二次方程2x²-2mx+m²-8m+14=0的两个实数根，且x₁²-x₂²=0，求x的值．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=m，再由x₁²-x₂²=0，x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，讨论：当x₁+x₂=0时，m=0，方程没有实数解；当x₁-x₂=0时，方程有两相等的实数解，利用△=0可得到m的一元二次方程，然后解此方程即可．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=m，
∵x₁²-x₂²=0，
∴x₁+x₂=0或x₁-x₂=0，
当x₁+x₂=0时，m=0，方程化为2x²+14=0，方程没有实数解；
当x₁-x₂=0时，即方程有两相等的实数解，则△=（-2m）²-4×2×（m²-8m+14）=0，整理得m²-16m+28=0，解得m₁=2，m₂=14，
∴m的值为2或14．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．