Question

已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=-

12

x

的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．
（1）求点M的坐标；
（2）求直线AB的解析式．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）过点M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，根据M为AB的中点，MC∥OB，MD∥OA，利用平行线分线段成比例得到点C和点D分别为OA与OB的中点，从而得到MC=MD，设出点M的坐标代入反比例函数解析式中，求出a的值即可得到点M的坐标；
（2）根据（1）中求出的点M的坐标得到MC与MD的长，从而求出OA与OB的长，得到点A与点B的坐标，设出一次函数的解析式，把点A与点B的坐标分别代入解析式中求出k与b的值，确定出直线AB的表达式．

解答：解：（1）过点M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D．
∵AM=BM，
∴点M为AB的中点，
∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴点C和点D分别为OA与OB的中点，
∴MC=MD，
则点M的坐标可以表示为（-a，a），
把M（-a，a）代入函数y=-

12

x

中，
解得a=2

3

，
则点M的坐标为（-2

3

，2

3

）；

（2）∵则点M的坐标为（-2

3

，2

3

），
∴MC=2

3

，MD=2

3

，
∴OA=OB=2MC=4

3

，
∴A（-4

3

，0），B（0，4

3

）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（-4

3

，0）和B（0，4

3

）分别代入y=kx+b中，
得

-4 3 k+b=0 b=4 3

，
解得：

k=1 b=4 3

，
则直线AB的解析式为y=x+4

3

．

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例定理，以及中位线定理，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．