Question

（2013•资阳）如图，已知直线l分别与x轴、y轴交于A，B两点，与双曲线y=

a

x

（a≠0，x＞0）分别交于D、E两点．
（1）若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，4）：
①分别求出直线l与双曲线的解析式；
②若将直线l向下平移m（m＞0）个单位，当m为何值时，直线l与双曲线有且只有一个交点？
（2）假设点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点D为线段AB的n等分点，请直接写出b的值．

Answer 1

分析：（1）①运用待定系数法可分别得到直线l与双曲线的解析式；
②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=-x=5-m，根据题意得方程组

y= 4 x y=-x+5-m

只有一组解时，化为关于x的方程得x²+（m-5）x+4=0，则△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1，m₂=9，当m=9时，公共点不在第一象限，所以m=1；
（2）作DF⊥x轴，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根据相似比可得到AF=

a

n

，DF=

b

n

，则D点坐标为（a-

a

n

，

b

n

），然后把D点坐标代入反比例函数解析式中即可得到b的值．

解答：解：（1）①把D（4，1）代入y=

a

x

得a=1×4=4，
所以反比例函数解析式为y=

4

x

（x＞0）；
设直线l的解析式为y=kx+t，
把D（4，1），E（1，4）代入得

4k+t=1 k+t=4

，
解得

k=-1 t=5

．
所以直线l的解析式为y=-x+5；
②直线l向下平移m（m＞0）个单位得到y=-x+5-m，
当方程组

y= 4 x y=-x+5-m

只有一组解时，直线l与双曲线有且只有一个交点，
化为关于x的方程得x²+（m-5）x+4=0，
△=（m-5）²-4×4=0，解得m₁=1，m₂=9，
而m=9时，解得x=-2，故舍去，
所以当m=1时，直线l与双曲线有且只有一个交点；

（2）作DF⊥x轴，如图，
∵点D为线段AB的n等分点，
∴DA：AB=1：n，
∵DF∥OB，
∴△ADF∽△ABO，
∴

AF

AO

=

DF

BO

=

AD

AB

，即

AF

a

=

DF

b

=

1

n

，
∴AF=

a

n

，DF=

b

n

，
∴OF=a-

a

n

，
∴D点坐标为（a-

a

n

，

b

n

），
把D（a-

a

n

，

b

n

）代入y=

a

x

得（a-

a

n

）•

b

n

=a，
解得b=

n2

n-1

．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式；熟练运用相似比进行几何计算．