Question

（2013•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴相交于A，B两点，OA，OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根，且OA＜OB．
（1）求点A，B的坐标．
（2）过点A作直线AC交y轴于点C，∠1是直线AC与x轴相交所成的锐角，sin∠1=

3

5

，点D在线段CA的延长线上，且AD=AB，若反比例函数y=

k

x

的图象经过点D，求k的值．
（3）在（2）的条件下，点M在射线AD上，平面内是否存在点N，使以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的长度，得到点A、B的坐标；
（2）如答图1所示，作辅助线，构造全等三角形△AOB≌△DEA，求得点D的坐标；进而由题意，求出k的值；
（3）如答图2所示，可能存在两种情形，需要分别计算，避免漏解．针对每一种情形，利用相似三角形和全等三角形，求出点N的坐标．

解答：解：（1）解方程x²-14x+48=0，得：x₁=6，x₂=8．
∵OA，OB的长分别是方程x²-14x+48=0的两根，且OA＜OB，
∴OA=6，OB=8，
∴A（6，0），B（0，8）．

（2）如答图1所示，过点D作DE⊥x轴于点E．

在Rt△AOB中，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10．
∴sin∠OBA=

OA

AB

=

6

10

=

3

5

．
∵sin∠1=

3

5

，
∴∠OBA=∠1．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠1+∠ADE=90°，
∴∠OAB=∠ADE．
在△AOB与△DEA中，

∠OBA=∠1 AB=AD ∠OAB=∠ADE

，
∴△AOB≌△DEA（ASA）．
∴AE=OB=8，DE=OA=6．
∴OE=OA+AE=6+8=14，
∴D（14，6）．
∵反比例函数y=

k

x

的图象经过点D，
∴k=14×6=84．

（3）存在．
如答图2所示，若以A，B，M，N为顶点的四边形是邻边之比为1：2的矩形，

①当AB：AM₁=2：1时，
过点M₁作M₁E⊥x轴于点E，易证Rt△AEM₁∽Rt△BOA，
∴

AE

OB

=

M1E

OA

=

AM1

AB

，即

AE

8

=

M1E

6

=

1

2

，
∴AE=4，M₁E=3．
过点N₁作N₁F⊥y轴于点F，易证Rt△N₁FB≌Rt△AEM₁，
∴N₁F=AE=4，BF=M₁E=3，
∴OF=OB+BF=8+3=11，
∴N₁（4，11）；
②当AB：AM₂=1：2时，
同理可求得：N₂（16，20）．
综上所述，存在满足条件的点N，点N的坐标为（4，11）或（16，20）．

点评：本题是代数几何综合题，考查了一次函数的图象与性质、解一元二次方程、反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形、全等三角形、矩形等知识点．第（3）问中，矩形邻边之比为1：2，有两种情形，需要分别计算，避免漏解．