Question

【题目】如图，已知矩形，在上取两点在左边)，以为边作等边三角形，使顶点在上．

(1)求△PEF的边长；

(2)若△PEF的边在线段上移动．分别交于点．求证：．

Answer 1

【答案】(1)边长为；(2)证明见解析.

【解析】

（1）要求△PEF的边长，需构造直角三角形，那么就过P作PQ⊥BC于Q．利用∠PFQ的正弦值可求出PF，即△PEF的边长；

（2）利用∠1的正切值可求出∠1的度数，再由∠PFE＝60°，可得出△HFC是等腰三角形，因此就有BE+EF+CF＝BE+PH+2FH＝3．再把其中FH用PH表示，化简即可．

（1）过P作PQ⊥BC于Q．

∵矩形ABCD中，∠B＝90°，即AB⊥BC．

又∵AD∥BC，

∴PQ＝AB．

∵△PEF是等边三角形，

∴∠PFQ＝60°．

在Rt△PQF中，PF2，

∴△PEF的边长为2；

（2）在Rt△ABC中，AB，BC＝3，

∴AC，

∴tan∠1＝，

∴∠1＝30°．

∵△PEF是等边三角形，

∴∠PFE＝60°，PF＝EF＝2．

∵∠PFE＝∠1+∠4，

∴∠4＝30°，

∴∠1＝∠4，

∴FC＝FH．

∵PH+FH＝2，BE+FC＝3﹣EF＝3﹣2＝1，

∴PH﹣BE＝(PH+FH)－(BE+FC)=1．