Question

17．如图，点A在反比例函数y=$\frac{6}{x}$图象第一象限的分支上，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，顶点C在第四象限，AC与x轴交于点D，若△OAD与△BCD的面积相等，则点A的横坐标是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于D点，由反比例函数的性质可知A、B关于原点O对称，设出A点坐标（m，am），结合△ACB为等腰直角三角形可以用m、a表示出C点坐标，由相似三角形的对应边之比等于相似比，可得出a的值，再根据点A在反比例函数图象上，可得出m的值，将a、m代入点C的坐标，即可求得结论．

解答 解：连接OC，分别过点A、C作x、y轴的平行线交于E点，CE交x轴于F点，如图：
由反比例的性质可知，A、B两点关于中心O对称，即OA=OB，
又∵△ACB为等腰直角三角形，
∴CO⊥AB，且OC=OA．设直线AB的解析式为y=ax（a＞0），则OC的解析式为y=-$\frac{1}{a}$x，
设点A（m，am），点C（an，-n），
∵OA=OC，即m²+（am）²=（an）²+n²，
解得n=±m，
∵A在第一象限，C在第三象限，
∴n=m＞0，
即C（am，-m）．
∵AE∥x轴，CE∥y轴，
∴∠CDF=∠CAE，∠CFD=∠CEA=90°，
∴△CDF∽△CAE，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CD}{CA}$，
又∵△OAD与△BCD的面积相等，△OAD与△BOD的面积相等，
∴S_△ABD=2S_△BCD，
∴$\frac{AD}{CD}$=2，
∵AC=AD+CD，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CD}{CA}$=$\frac{1}{3}$，
∵点A（m，am），点C（am，-m），
∴点E（am，am），点F（am，0），
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{0-（-m）}{am-（-m）}$=$\frac{1}{a+1}$=$\frac{1}{3}$，
即a=2．
∵点A（m，am）在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，且a=2，
∴2m²=6，解得m=$±\sqrt{3}$，
∵m＞0，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴点A的横坐标是$\sqrt{3}$，
故选A．

点评 本题考查了相似三角形的判定及性质和反比例函数等相关知识，解题的关键是利用反比例函数的对称性，设出A点坐标（m，am），用a、m去表示B、C的坐标，再借助相似三角形的相似比跟点在反比例函数图象上求出a、m的值．