Question

已知二次函数y=mx²+（m-3）x-3　（m＞0）
（1）求证：它的图象与x轴必有两个不同的交点；
（2）这条抛物线与x轴交于A（x₁，0）和B（x₂，0）（x₁＜x₂），与y轴交于点C，且AB=4，⊙M过A、B、C三点，求扇形MAC的面积S；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BC分成面积比为1：2的两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵二次函数y=mx²+（m-3）x-3 （m＞0）
∴△=（m-3）²-4（-3）m
=m²-6m+9+12m
=m²+6m+9
=（m+3）²
∵m＞0，
∴m+3＞3，
∴（m+3）²＞9，
∴（m+3）²＞0，
∴抛物线与x轴有两个不同的交点．

（2）∵y=mx²+（m-3）x-3=（mx-3）（x+1），
∴x₁=-1，x₂=，
∴AB=-（-1）=4，
即m=1；
∴y=x²-2x-3，
得A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），
∴∠OBC=45°，∠AMC=90°，
∵AC==，
∵AM=CM，
∴AM==，
∴R=，S=π．

（3）设PD与BC的交点为E，知道B点、C点的坐标，设直线BC的解析式为y=kx+b，则有：
，解得：，
∴直线BC解析式为：y=x-3，
设P（x，x²-2x-3）；当S_△BED：S_△BEP=1：2时，PD=3DE，
得-（x²-2x-3）=-3（x-3），解得x=2或3，
∴ 或（舍去）
∴P（2，-3）；
当S_△PBE：S_△BED=1：2时，同理可得P（，-），
故存在P（2，-3）或P（，-）．
分析：（1）要证明抛物线与x轴有两个不同的交点，只要证明△＞就可以了．
（2）根据抛物线的解析式，可表示出A、B的坐标，根据AB=4，可求出m的值，从而确定该抛物线的解析式，即可得到A、B、C的坐标；根据B、C的坐标，可得到∠OBC=45°，根据圆周角定理知∠AMC=90°，即△AMC是等腰直角三角形，AC的长易求得，即可得到半径AM、MC的长，利用扇形的面积公式，即可求得扇形AMC的面积．
（3）设PD与BC的交点为E，此题可分成两种情况考虑：
①当△BPE的面积是△BDE的2倍时，由于△BDE和△BPD同高不等底，那么它们的面积比等于底边的比，即DE=PD，可设出P点的坐标，那么E点的纵坐标是P点纵坐标的，BD的长为B、P横坐标差的绝对值，由于∠OBC=45°，那么BD=DE，可以此作为等量关系求出P点的坐标；
②当△BDE的面积是△BPE的2倍时，方法同①．
点评：此题是二次函数的综合类题目，考查了抛物线的图象与x轴交点坐标的判定、二次函数解析式的确定、圆周角定理的运用、扇形面积的计算方法以及图形面积的求法等知识，综合性强，难度稍大．