Question

4．如图，⊙C经过原点O且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（2$\sqrt{3}$，0）．
（1）求线段AB的长；
（2）求圆心C的坐标；
（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POA是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求解即可；
（2）过点C作CD⊥OB于点D，由垂径定理可求得OD=$\frac{1}{2}OB$，由三角形的中位线定理可知：DC=1，从而可求得DC的长；
（3）分PA=PO；PA=AO；PO=AO三种情况画出图形，然后结合相关图形的性质进行计算即可．

解答 解：（1）在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4．
（2）如图1所示，过点C作CD⊥OB于点D．

∵CD⊥OB，
∴OD=BD=$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∵AC=CB，OD=DB，
∴DC是△AOB的中位线．
∴$CD=\frac{1}{2}AO=1$．
∴圆心C的坐标为（$\sqrt{3}$，1）．
（3）如图2所示，过点C作CD⊥OB，连接OC．

由（2）可知：DC=1，OD=$\sqrt{3}$．
在Rt△OCD中，OC=$\sqrt{O{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
如图3所示：当PA=PO时，点P在AO的垂直平分线上．

∴点${P}_{1}（\sqrt{3}-2，1）$，点${P}_{2}（\sqrt{3}+2，1）$．
如图4所示：当PA=AO时，过点C作CD⊥AO，交圆C与点E．

∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°．
∴∠ACO=60°．
∵CD⊥AO，BO⊥AO，
∴EC∥OB．
∴∠ACE=30°．
∵∠AP₃=AO，
∴∠ACP₃=∠ACO=60°．
∴∠P₃CE=30°+60°=90°．
∴点P₃的坐标为（$\sqrt{3}$，3）．
如图5所示，当PO=OA时，过点C作CD⊥AO，交圆C与点E．

∵CD⊥AO，BO⊥AO，
∴EC∥OB．
∴∠ACE=30°．
∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABO=30°．
∴∠ACO=60°．
∵CD⊥AO，BO⊥AO，
∴EC∥OB．
∴∠ACE=30°．
∴∠ECO=30°．
∵∠P₄O=AO，
∴∠OCP₄=∠ACO=60°．
∴∠P₄CE=30°+60°=90°．
∴点P₄的坐标为（$\sqrt{3}$，-1）．
综上所述，点P的坐标为（$\sqrt{3}-2，1$）或（2$+\sqrt{3}$，1）（$\sqrt{3}$，3）（$\sqrt{3}$，-1）．

点评 本题主要考查的是圆的性质、特殊角三角函数值、勾股定理、三角形中位线定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键，解答本题主要应用了分类讨论的数学思想．