Question

23、如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接ED、BD．
（1）求证：△ABC∽△BCD
（2）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AB为直径，所以∠ADB=∠CDB=90°，所以∠ABC=∠CDB=90°，又因为∠C是公共角，所以△ABC∽△BDC．
（2）连接OD，由于OD=OB，所以∠ODB=∠OBD，因为E为Rt△BCD的斜边BC的中点，所以CE=BD=DE，所以∠EDB=∠EBD，因为∠OBD+∠EBD=90°，所以∠ODB+∠EDB=90°，所以DE与半圆O相切．

解答：证明：（1）∵AB为直径
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∴∠ABC=∠CDB=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．

（2）DE与半圆O相切，
连接OD，

∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∵E为Rt△BCD的斜边BC的中点，
∴CE=BD=DE，
∴∠EDB=∠EBD，
∵∠OBD+∠EBD=90°，
∴∠ODB+∠EDB=90°，
∴DE与半圆O相切．

点评：本题主要考查了圆中三角形的相似的证明，在圆中，由垂径定理和圆周角定理的结论，容易证得相等的角，所以容易证得其中的三角形全等或相似．