Question

【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若存在过点P的直线l交⊙C于异于点P的A，B两点，在P，A，B三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点P为⊙C 的相邻点，直线l为⊙C关于点P的相邻线．

（1）当⊙O的半径为1时，
①分别判断在点D（ ， ），E（0，﹣ ），F（4，0）中，是⊙O的相邻点有；
②请从①中的答案中，任选一个相邻点，在图1中做出⊙O关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程；
③点P在直线y=﹣x+3上，若点P为⊙O的相邻点，求点P横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣ 与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上存在⊙C的相邻点P，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）D或E,解：②连接OD,过点D作OD的垂线交⊙O于A、B两点,如图所示： ,③令x=0代入y=﹣x+3,∴y=3,令y=0代入y=﹣x+3,∴x=3,∴y=﹣x+3与坐标轴的交点为（0,3）和（3,0）∵由于点P在直线y=﹣x+3上,且点P是⊙O的相邻点,∴0≤PO≤3,且PO≠1又∵点P在⊙O外,∴1＜PO≤3,∴p的横坐标范围为：0≤x≤3；
（2）解：令x=0代入y=﹣ x+2 ，

∴y=2 ，

∴N（0，2 ），

令y=0代入y=﹣ x+2 ，

∴x=6，

∴M（6，0），

∵点P是半径为1的⊙C的相邻点，

∴0≤PC≤3且PC≠1，

∴点C在以点P为圆心，半径为3的圆内，且不能在以点P为圆心，半径为1的圆上，

∵点C在x轴上，

∴点C的横坐标范围的取值范围：0≤x≤9．

【解析】解：（1）由定义可知，

当点P在⊙C内时，

由垂径定理可知，点P必为⊙C的相邻点，

此时，0≤PC＜1；

当点P在⊙C外时，

设点A是PB的中点，

连接PC交⊙C于点M，

延长PC交⊙C于点N，

连接AM，BN，

∵∠AMP+∠NMA=180°，

∠B+∠NMA=180°，

∴∠AMP=∠B，

∵∠P=∠P，

∴△AMP∽△NBP，

∴ = ，

∴PAPB=PMPN，

∵点A是PB的中点，

∴AB=PA，

又∵⊙C的半径为1，

∴2AB2=（PC﹣CM）（PC+CN），

∴2AB2=PC2﹣1，

又∵AB是⊙C的弦，

∴AB≤2，

∴2AB2≤8，

∴PC2﹣1≤8，

∴PC2≤9，

∴PC≤3，

∵点P在⊙C外，

∴PC＞1，

∴1＜PC≤3，

当点P在⊙C上时，

此时PC=1，但不符合题意，

综上所述，半径为1的⊙C，当点P与圆心C的距离满足：0≤PC≤3，且PC≠1时，点P为⊙C的相邻点；

①∵D（ ， ），

∴DO= = ，

∵E（0，﹣ ），

∴OE= ，

∵F（4，0），

∴OF=4，

∴D和E是⊙O的相邻点；