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(10分 )如图,已知抛物线与轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与轴交于点C(0,3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若为对称轴上的点,且的面积是4,求点的坐标;

(3)设抛物线的顶点为D,在第一象限的抛物线上是否存在点,使得是等腰三角形?若存在,求出符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.

(1)

(2)

(3)存在..

【解析】

试题分析:(1)已知三点的坐标,用待定系数法求得二次函数解析式;

(2)求出抛物线的对称轴,即可得到点M的横坐标,根据△MAB的面积求得点M到x轴的距离,得到点M的纵坐标;

(3)分情况讨论,若以CD为底边,则ND=NC,设N点坐标为(x,y),根据勾股定理和抛物线解析式得到关于x、y的等式,求得x和y的值;若以CD为一腰,根据抛物线的对称性求得点N的坐标.

试题解析:【解析】
(1)设抛物线的解析式为

由题意得:,解得:

因此抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3;

(2)由(1)的抛物线的解析式可知:y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

因此抛物线的对称轴为:直线x=1;

设点M到x轴的距离为h,

由题意得AB=4,

所以,解得:h=2,

因为点M在抛物线的对称轴上,所以点M的坐标为(1,2)或(1,-2).

(3)存在.

由y=-x2+2x+3得,D点的坐标为(1,4),对称轴为x=1.

若以CD为底边,则ND=NC,设N点坐标为(x,y),

根据勾股定理,得,即y=4-x,

又N点(x,y)在抛物线上,∴

解得

,或

即点N坐标为.

②若以CD为一腰,因为点N在第一象限的抛物线上,由抛物线对称性知,点N与点C关于直线x=1对称,此时点N坐标为(2,3).

∴符合条件的点N坐标为或(2,3).

考点:1、待定系数法求二次函数解析式;2、二次函数的综合应用.

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