Question

AB=2R是半圆的直径，C、D是半圆周上两点，并且弧AC与BD的度数分别是96°和36°，动点P在线段AB上，则PC+PD的最小值为

 

．

Answer 1

分析：作点C关于AB的对称点C′，再根据对称的性质得出∠DOC′=120°，作OE⊥C′D于E，利用垂径定理及特殊角的三角函数值即可得出答案．

解答：解：作点C关于AB的对称点C′，在另一半圆上，并且

BC′

的度数=

BC

的度数=84°，
所以∠DOC′=120°，∠OC′D=∠ODE=30°，
过O作OE⊥C′D于E，则C′E=OC′•cos30°=

3 R

2

，
所以DC′=

3

R，
因为PC+PD=PC′+PD≥C′D

3

R，当P点是DC′与AB的交点时取“=”．
故（PC+PD）min=

3

R．
故答案为：

3

R．

点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质、轴对称的性质、垂径定理，涉及面较广，难度适中．