Question

已知：如图，点P是半径为5cm的⊙O外的一点，OP=13cm；PT切⊙O于T点，过P点作⊙O的割线PAB（PB＞PA）．设PA=x，PB=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围；
（2）这个函数有最大值吗？若有，求出此时△PBT的面积；若没有，请说明理由；
（3）是否存在这样的割线PAB，使得S_△PAT=S_△PBT？若存在，请求出PA的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接圆心和切线，求得切线长，利用切割线定理可求得y关于x的函数解析式．
（2）根据自变量的取值，求得函数的最值，进而求得面积．
（3）利用相似三角形的面积来求得相应的对应边的长．
解答：解：（1）连接OT；
∵PT切⊙O于T点，
∴∠OTP=90°，
∵OP=13cm，OT=5cm，
∴PT=12；
∵PT为切线，
∴PT²=PA×PB，
∴xy=144，
∴y=（8≤x≤12）．

（2）由（1）得x=8时，y最大．为18，此时TB为直径，等于10，
∴△PBT的面积=PT×TB÷2=12×10÷2=60；

（3）∵∠TPA=∠TPA，∠PTA=∠PBT，
∴△PTA∽△PBT，
∵S_△PAT=S_△PBT，
∴PA：PT=1：，
∵PT=12，
∴PA=6，
∵在自变量的取值范围内，
∴存在．
点评：本题主要考查了勾股定理，切割线定理以及相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点的综合运用．