Question

【题目】如图，已知正三角形ABC的边长AB是480毫米．一质点D从点B出发，沿BA方向，以每秒钟10毫米的速度向点A运动．

（1）建立合适的直角坐标系，用运动时间t（秒）表示点D的坐标；

（2）过点D在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG，其中EF在BC边上，G在AC边上．在图中找出点D，使矩形DEFG是正方形（要求所表达的方式能体现出找点D的过程）；

（3）过点D、B、C作平行四边形，当t为何值时，由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积，并求此时点F的坐标．

Answer 1

【答案】(1);(2) 当点D与点B的距离等于10t=960（2﹣）毫米时，矩形是正方形;(3) F（560，80），F′（400，﹣80）,F″（﹣400，80）

【解析】

运用相似三角形及平行四边形的性质求解．

（1）建立如图所示的直角坐标系，作DE⊥x轴于E，

则t秒后，DB=10t

又△ABC是正三角形，故∠B=60°

在Rt△DEB中，DE=DB×sin∠B=10t×=5t，

BE=DB×cos∠B=10t×=5t

即：D(5t,5)；

（2）①先画一个正方形，再利用位似图形找出点D，具体作法阅图

②利用正三角形与矩形是轴对称图形或利用相似三角形的性质求得DG=480﹣10t，DE=5t．然后由480﹣10t=5t,

求出t==96（2﹣）（毫米）．所以当点D与点B的距离等于10t=960（2﹣）毫米时，矩形是正方形．

（3）如图所示：

当点F在第一象限时，这个平行四边形是CBDF；

当点F在第二象限时，这个平行四边形是BCDF“；

当点F在第三象限时，这个平行四边形是CDBF'．

但平行四边形BCDF“的面积、平行四边形CDBF'的面积

都与平行四边形CBDF的面积相等（等底等高）

平行四边形CBDF的底BC=480，相应的高是5，则面积是2400；三角形ADC的底AD=480﹣10t，相应的高是240

则面积是120（480﹣10t）．

由2400 =120（480﹣10t），解得t=16

所以当t=16秒时，由点C、B、D、F组成的平

行四边形的面积等于三角形ADC的面积．

∴此时，点F的坐标是F（560，80），F′（400，﹣80）,F″（﹣400，80）．