Question

如图，AD、BE分别是等边△ABC中BC、AC上的高．M、N分别在AD、BE的延长线上，∠CBM=∠ACN．求证：AM=BN．

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，然后求出∠ABM=∠BCN，再根据等腰三角形三线合一的性质求出∠BAM=∠CAN=30°，然后利用“角边角”证明△ABM和△BCN全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．

解答：证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵∠CBM=∠ACN，
∴∠ABC+∠CBM=∠ACB+∠ACN，
即∠ABM=∠BCN，
∵AD、BE分别是边BC、AC上的高，
∴∠BAM=∠CAN=30°，
在△ABM和△BCN中，

∠ABM=∠BCN AB=BC ∠BAM=∠CAN

，
∴△ABM≌△BCN（ASA），
∴AM=BN．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，证明边相等，通常利用边所在的三角形全等进行证明，是常用的方法，要熟练掌握并灵活运用．