Question

如图，点O是边长为8的正方形ABCD边AD上一个动点（4＜OA＜8），以O为圆心、OA长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，以CM为边在正方形ABCD内部作∠CMN=∠DOM，直线MN交边BC于点N.

（1）试说明：直线MN是⊙O的切线；
（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；
（3）在点O运动的过程中，设△CMN的周长为p，试用含x的代数式表示p，你有什么发现？

Answer 1

（1）根据正方形的性质结合∠CMN=∠DOM，即可得到∠OMN=90°，即可证得结果；
（2）；（3）p为定值16

试题分析：（1）根据正方形的性质结合∠CMN=∠DOM，即可得到∠OMN=90°，即可证得结果；
（2）设OA＝y，Rt△ODM中，根据勾股定理可得DM²＝OM²－DO²＝OA²－DO²，即可得到结果；
（3）易证△DOM ∽△CMN，根据相似三角形的性质可得，即可得到结果.
（1）∵正方形ABCD
∴∠D=90°
∴∠DOM+∠DMO=90°
∵∠CMN=∠DOM
∴∠CMN+∠DMO=90°
∴∠OMN=90°
∴直线MN是⊙O的切线；
（2）设OA＝y，Rt△ODM中，DM²＝OM²－DO²＝OA²－DO²，
即x²＝y²－(8－y)²，解得OA＝y ＝； 
（3）易证△DOM ∽△CMN，相似比为，
∴p＝.
∴在点O运动的过程中，△CMN的周长p为定值16．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，题目比较典型．